Question

如圖，半圓O的直徑AB=4，⊙O₁與半圓O內切且與AB切于點C，設⊙O₁的半徑為y，AC=x，
（1）請求出y關于x的函數關系式以及自變量x的取值范圍；
（2）求出函數的最大值，并在所給平面直角坐標中畫出函數的大致圖象．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OO₁，連接O₁C，由圓O₁與半圓O內切，根據兩圓內切的性質得到圓心距等于兩半徑相減，表示出OO₁，再由圓O₁與AB相切，根據切線的性質得到O₁C垂直于AB，且O₁C為圓O₁的半徑y，再由OA-AC表示出OC的長，在直角三角形OO₁C中，根據勾股定理列出關系式，化簡后即可得到y與x的函數解析式，根據AC小于直徑AB得出x的范圍；
（2）根據二次函數求最值的方法，由a小于0，得到二次函數有最大值，故當x等于頂點橫坐標時，y的最大值為頂點的縱坐標，并令y=0得出關于x的方程，求出方程的解得到拋物線與x軸的交點坐標，再求出拋物線的對稱軸，在平面直角坐標系中畫出拋物線的圖象即可．
解答：
解：（1）連接OO₁，連接O₁C，
∵圓O₁與半圓O內切，半圓O的半徑為2，圓O₁的半徑為y，
∴OO₁=2-y，
又半圓O與AB切于點C，
∴O₁C⊥OA，O₁C=y，
又AC=x，則OC=OA-AC=2-x，
在直角三角形O₁OC中，根據勾股定理得：OO₁²=O₁C²+OC²，
即（2-y）²=y²+（2-x）²，
則y=-x²+x（0＜x＜4）；
（2）二次函數y=-x²+x，
當x=-=-=2時，y_max=-×2²+2=1，
令y=0，得到-x²+x=0，解得：x=0或x=4，
∴拋物線與x軸交于（0，0）及（4，0），對稱軸為直線x=2，
作出二次函數的圖象，如圖所示．
點評：此題考查了相切兩圓的性質，切線的性質，以及二次函數的圖象與性質，兩圓相切有兩種情況：兩圓內切時，其圓心距等于兩半徑相減；兩圓外切時，圓心距等于兩半徑相加，直線與圓相切時，切線垂直于過切點的半徑，熟練掌握這些性質是解本題的關鍵．