Question

如圖，已知點(diǎn)B、C分別在∠A的兩邊上，連結(jié)BC，點(diǎn)P在∠A的內(nèi)部，連結(jié)PB、PC．試探索∠BPC與∠A、∠ABP、∠ACP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：分三種情況：①點(diǎn)P恰在直線(xiàn)BC上，②點(diǎn)P在∠A的內(nèi)部、△ABC的外部，③點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部分別求出∠BPC與∠A、∠ABP、∠ACP之間的數(shù)量關(guān)系即可．

解答：解：①當(dāng)點(diǎn)P恰在直線(xiàn)BC上時(shí)，∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP，
∵B、P、C在一條直線(xiàn)上，
∴∠BPC=180°，
又∵∠A+∠ABP+∠ACP=180°，
∴∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP．
②當(dāng)點(diǎn)P在∠A的內(nèi)部、△ABC的外部時(shí)，
∠BPC=360°-∠A-∠ABP-∠ACP，
∵點(diǎn)A、B、P、C構(gòu)成四邊形，
∴∠BPC+∠A+∠ABP+∠ACP=360°，
∴∠BPC=360°-∠A-∠ABP-∠ACP．
③當(dāng)點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部時(shí)（如圖），
∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP，
∵∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB），
∠A+∠ABP+∠ACP=180°-（∠PBC+∠PCB），
∴∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是分類(lèi)討論，注意不要漏解，難度較大．