Question

如圖，點P是邊長為1的菱形ABCD的對角線AC上一動點，點M、N分別是AB、BC中點，求MP+NP的最小值．

Answer 1

解：作點M關于AC的對稱點M′，連接M′N交AC于P，此時MP+NP有最小值，最小值為M′N的長．
∵菱形ABCD關于AC對稱，M是AB邊上的中點，
∴M′是AD的中點，
又∵N是BC邊上的中點，
∴AM′∥BN，AM′=BN，
∴四邊形ABNM′是平行四邊形，
∴M′N=AB=1，
∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值為1．
分析：先作點M關于AC的對稱點M′，連接M′N交AC于P，此時MP+NP有最小值．然后證明四邊形ABNM′為平行四邊形，即可求出MP+NP=M′N=AB=1．
點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題及菱形的性質，熟知兩點之間線段最短的知識是解答此題的關鍵．