Question

【題目】如圖，⊙M與x軸交于A、B兩點，與y軸切于點C，且OA，OB的長是方程x2﹣4x+3＝0的解．

（1）求M點的坐標．

（2）若P是⊙M上一個動點（不包括A、B兩點），求∠APB的度數．

Answer 1

【答案】(1)（2，）；(2)30°或150°.

【解析】

（1）過點M作ME⊥x軸于點E，連接MA，MC，解出方程后可知OA＝1，OB＝3，然后即可求出OE的長度，由于C是切點，所以MC是半徑，又因為MC＝OE，從而可知⊙M的半徑，利用垂徑定理即可求出M的坐標．

（2）由于點P的位置不確定，需要分兩種情況進行討論，可根據圓周角定理以及圓內接四邊形的性質求解．

解：（1）過點M作ME⊥x軸于點E，連接MA，MC，

∵OA，OB的長是方程x2﹣4x+3＝0的解，

∴解得x＝1或x＝3，

∴OA＝1，OB＝3，

∴A（1，0），B（3，0）

由垂徑定理可知：AE＝BE，

∴E（2，0），

∴OE＝2，AE＝1，

∵⊙M與y軸切于點C，

∴MC⊥OC，

∵ME⊥x軸，y軸⊥x軸，MC、AM是⊙M的半徑，

∴MC=AM＝OE＝2，

∴由勾股定理可知：ME=＝，

∴M的坐標為（2，）；

（2）連接MB、AM

當點P在x軸上方時，

由（1）可知：AM=MB＝2，AB＝3-1=2，

∴∠AMB＝60°，

∴由圓周角定理可知：∠APB＝∠AMB＝30°，

當點P在x軸下方時，

∴由圓內接四邊形的性質可知：此時∠APB＝180°﹣30°＝150°．