Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠B＝∠DCA，AD∥BC，連結OD，AC，且OD與AC相交于點E．

（1）求證：CD與⊙O相切；

（2）若⊙O的半徑為4，且＝，求tan∠DCA的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】

(1)連接OC，易證∠DCA=∠OCB，由于∠ACO+∠OCB=90°，所以∠ACO+∠DCA=90°，即∠DCO=90°，從而可證CD與⊙O相切；

(2) 過點O作OF∥BC，交CD于點F，交AC于點G，由于△AED∽△GEO，再利用對應邊成比例，設AD=5x，OG=2x，進一步證明△ADC∽△CAB，所以AC2=ADBC，所以AC=，最后根據銳角三角函數即可求出tan∠B的值．

解：（1）連接OC，如下圖所示：

∵OC＝OB，

∴∠OCB＝∠B，

∵∠B＝∠DCA，

∴∠DCA＝∠OCB，

∵∠ACO+∠OCB＝90°，

∴∠ACO+∠DCA＝90°，

即∠DCO＝90°，

∵OC是⊙O的半徑，

∴CD是⊙O的切線；

（2）過點O作OF∥BC，交CD于點F，交AC于點G，

∵AD∥BC，

∴AD∥OG，

∴△AED∽△GEO，

，

設AD＝5x，OG＝2x，

∵∠ACB＝90°，

∴由垂徑定理可知：點G為AC的中點，

∴OG是△ACB的中位線，

∴BC＝2OG＝4x，

∵∠B＝∠DCA，∠DAC＝∠ACB＝90°，

∴△ADC∽△CAB

∴，

∴AC2＝AD×BC，

∴AC＝，

∴tan∠B＝.

故答案為：tan∠B=.