Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F在BD上，且BE=DF．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）在不添加輔助線的情況下，請你補充一個條件，使得四邊形AECF是菱形，并給予證明．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD．
∴∠ABE=∠CDF．
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF．

（2）解：補充的條件是：AC⊥BD．
證明：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵BE=DF，
∴0E=0F．
∴四邊形AECF是平行四邊形．
又∵AC⊥BD，
∴四邊形AECF是菱形．
（其他解法參照給分）
分析：1、由平行四邊形的性質知，AB=CD，AB∥CD，得到∠ABE=∠CDF，又有BE=DF，故由SAS證得△ABE≌△CDF．
2、平行四邊形的性質知，AO=CO，BO=DO，由BE=DF可求得OE=OF，則四邊形AECF是平行四邊形，若使平行四邊形AECF為菱形，只要AC⊥EF即可．
點評：本題利用了平行四邊形的判定和性質，全等三角形和菱形的判定求解．