Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線AB：y＝﹣x+與直線AC：y＝+8交于點A，直線AB分別交x軸、y軸于B、E，直線AC分別交x軸、y軸于點C、D．

（1）求點A的坐標；

（2）在y軸左側作直線FG∥y軸，分別交直線AB、直線AC于點F、G，當FG＝3DE時，過點G作直線GH⊥y軸于點H，在直線GH上找一點P，使|PF﹣PO|的值最大，求出P點的坐標及|PF﹣PO|的最大值；

（3）將一個45°角的頂點Q放在x軸上，使其角的一邊經過A點，另一邊交直線AC于點R，當△AQR為等腰直角三角形時，請直接寫出點R的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（﹣2，7）；（2）（，4），；（3）①（5，），②（﹣9，）或（5，）或（12，14）或（﹣，）．

【解析】

（1）聯立，解得：，故點A的坐標為（﹣2，7）；

（2）當F、P、O三點共線時，|PF﹣PO|的值最大，即可求解；

（3）△AQR為等腰直角三角形，有如下圖所示的兩種情況，①AQ⊥AC，②當R'Q'⊥AC，分別求解即可．

（1）聯立，解得：，故點A的坐標為（﹣2，7）；

（2）由題意得：點E、D、B、C的坐標分別為（0，）、（0，8）、（，0）、（﹣16，0）．

過點A作MN∥x軸，分別交FG、DE于點M、N，則：AN=2．

∵FG∥DE，

∴△AFG∽△AED，∴3，則AM=6，

∴點M的橫坐標為：﹣8，

則點F、G的坐標分別為（﹣8，）、（﹣8，4），

在y軸上找到點O關于直線GH的對稱點O'（0，8），

連接FO'并延長，交直線GH于點P，此時，|PF﹣PO|的值最大，最大值為PO'，

直線O'F的表達式為：yx+8，

當y=4時，x，即點P坐標為（，4），|PF﹣PO|=FO'，故：點P坐標為（，4），|PF﹣PO|；

（3）△AQR為等腰直角三角形，有如下圖所示的兩種情況：

①當AQ⊥AC，當點R在點A下方時，

∴直線AQ的表達式為：y=﹣2x+b，將點A坐標代入得：7=﹣2×（﹣2）+b，解得：b=3，故：直線AQ的表達式為：y=﹣2x+3，則點Q坐標為（，0），過點A作x軸的平行線，過點R作y軸的平行線，過點Q作y軸的平行線，圍成矩形GMQH，∠GAR+∠QAH=90°，∠QAH+∠AQH=90°，

∴∠AQH=∠GAR，∠AGR=∠QHA=90°，AR=AQ，

∴△AGR≌△QHA（AAS），

∴HQ=GA=7，GR=AH=2，OM=2+GA=9，

∴RM=7．

故點R的坐標為（﹣9，），當點R在點A上方時，同理可得點R坐標為（5，）；

②當R'Q'⊥AC時，同理，點R'的坐標為（12，14）或（﹣16，0）．

綜上所述：點R的坐標為（﹣9，）或（5，）或（12，14）或（）．