Question

設x₁、x₂是方程2x²-4mx+2m²+3m-2=0的兩個實根，當m為何值時，x₁²+x₂²有最小值，并求這個最小值．

Answer 1

分析：由韋達定理知x₁²+x₂²是關于m的二次函數，是否是在拋物線的頂點處取得最小值，就要看自變量m的取值范圍，從判別式入手．

解答：解：∵x₁、x₂是方程2x²-4mx+2m²+3m-2=0的兩個實根，
∴△=（-4m）²-4×2×（2m²+3m-2）≥0，可得m≤

2

3

，
又x₁+x₂=2m，x₁x₂=

2m2+3m-2

2

，
∴x₁²+x₂²=2( m-

3

4

) 2+

7

8

=2(

3

4

-m)2+

7

8

，
∵m≤

2

3

，
∴

3

4

-m≥

3

4

-

2

3

＞0，
∴當m=

2

3

時，x₁²+x₂²取得最小值為2×(

3

4

-

2

3

) 2+

7

8

=

8

9

．

點評：本題考查了某一區間的條件限制的二次函數最值問題及根的判別式，難度較大，關鍵掌握：當拋物線的頂點在該區間內，頂點的縱坐標就是函數的最值，當拋物線的頂點不在該區間內，二次函數的最值在區間內兩端點處取得．