Question

如圖，已知拋物線的頂點為M（5，6），且經過點C（-1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線與y軸交于點A，過A作AB∥x軸，交拋物線于另一點B，則拋物線上存在點P，使△ABP的面積等于△ABO的面積，請求出所有符合條件的點P的坐標；
（3）將拋物線向右平移，使拋物線經過點（5，0），請直接答出曲線段CM（拋物線圖象的一部分，如圖中的粗線所示）在平移過程中所掃過的面積．

Answer 1

分析：（1）設拋物線的解析式為y=a（x-5）²+6，將C（-1，0）代入，利用待定系數法可得a=-

1

6

，則所求拋物線的解析式為y=-

1

6

(x-5)2+6=-

1

6

x2+

5

3

x+

11

6

；
（2）先根據函數解析式求得OA=

11

6

，結合AB∥x軸，OA⊥AB的性質可知點P到AB的距離為

11

6

，設點P的坐標為(x，

11

3

)或（x，0），①將(x，

11

3

)代入y=-

1

6

x2+

5

3

x+

11

6

，解得x1=5+

14

，x2=5-

14

②將（x，0）代入y=-

1

6

x2+

5

3

x+

11

6

，解得x₃=-1，x₄=11，綜合可知點P的坐標為(5+

14

，

11

3

)、(5-

14

，

11

3

)、（-1，0）、（11，0）．
（3）曲線段CM在平移過程中所掃過的面積可看作為底為6，高為6的平行四邊形的面積，故為36．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x-5）²+6（1分）
將C（-1，0）代入，
得0=a（-1-5）²+6，
解得a=-

1

6

（2分）
∴所求拋物線的解析式為y=-

1

6

(x-5)2+6=-

1

6

x2+

5

3

x+

11

6

（1分）；

（2）∵當x=0時，y=

11

6

，
∴OA=

11

6

（1分）
∵AB∥x軸，
∴OA⊥AB
∵S_△ABO=S_△ABP
∴點P到AB的距離為

11

6

（2分）
∴設點P的坐標為(x，

11

3

)或（x，0）
將(x，

11

3

)代入y=-

1

6

x2+

5

3

x+

11

6

，
解得x1=5+

14

，x2=5-

14

（2分）
將（x，0）代入y=-

1

6

x2+

5

3

x+

11

6

，
解得x₃=-1，x₄=11（2分）
∴點P的坐標為(5+

14

，

11

3

)、(5-

14

，

11

3

)、（-1，0）、（11，0）（1分）；

（3）∵曲線段CM在平移過程中所掃過的面積可看作為底為6，高為6的平行四邊形的面積，
∴所掃過的面積為36．（2分）

點評：本題考查二次函數的綜合應用，其中涉及到的知識點有待定系數法求函數解析式和二次函數和方程之間的關系以及利用數形結合的方法求算幾何圖形的面積等．要熟練掌握才能靈活運用．