Question

【題目】如圖，已知關于x的二次函數y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的圖象與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，且OB＝OC＝3，頂點為M．

（1）求出二次函數的關系式；

（2）點P為線段MB上的一個動點，過點P作x軸的垂線PD，垂足為D．若OD＝m，△PCD的面積為S，求S關于m的函數關系式，并寫出m的取值范圍；

（3）探索線段MB上是否存在點P，使得△PCD為直角三角形？如果存在，求出P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，（，3），（3﹣3，12﹣6）

【解析】

（1）根據題意得出點B和點C的坐標，將兩點坐標代入即可得出函數解析式；

（2）根據（1）中函數解析式得出點M的坐標，根據OD＝m設出點P的坐標，從而得出PD的長度，再根據得出S關于m的函數解析式；再根據點P在線段MB上得出m的取值范圍；

（3）分別討論∠PDC、∠DPC和∠DCP分別是直角的的情況是否存在，如果存在，根據實際情況，利用數形結合的思想得出點P的坐標.

解：（1）∵OB＝OC＝3，

∴B（3，0），C（0，3）

∴，

解得

∴二次函數的解析式為；

（2）由（1）可得函數解析式為：，

∴M（1，4）

設直線MB的解析式為y＝kx+n，將點M（1，4），點B（3，0）代入可得：

則有，

解得：，

∴直線MB的解析式為；

∵PD⊥x軸，OD＝m，

∴點P的坐標為（m，）

∴；

又∵點P為線段MB上的一個動點，且當點P與點B重合時，點P和點D重合，PCD不能構成三角形，

∴；

∴；

（3）∵若∠PDC是直角，則點C在x軸上，由函數圖象可知點C在y軸的正半軸上，

∴∠PDC≠90°，

如圖，在△PCD中，當∠DPC＝90°時，

當CPAB時，

∵PD⊥AB，

∴CP⊥PD，

∴PD＝OC＝3，

∴P點縱坐標為：3，代入，

得：，此時．

∴線段BM上存在點使△PCD為直角三角形．

如圖，當時，△COD′∽△D′CP′，

此時CD′2＝COP′D′，

即，

∴

解得：，

∵，

∴，

∴P′

綜上所述：P點坐標為：（，3），．