Question

一般來說，依據(jù)數(shù)學(xué)研究對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象分為不同種類的數(shù)學(xué)思想叫做“分類”的思想；將事物進(jìn)行分類，然后對(duì)劃分的每一類分別進(jìn)行研究和求解的方法叫做“分類討論”法，請(qǐng)你依據(jù)分類的思想和分類討論的方法解決下列問題：
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點(diǎn)D在BC所在的直線上運(yùn)動(dòng)，作∠ADE=45°（A、D、E按逆時(shí)針方向），
（1）如圖1，若點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，DE交AC于E
①求證：△ABD∽△DCE；
②當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)；
（2）如圖2，若點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，DE的反向延長(zhǎng)線與AC延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E′，是否存在點(diǎn)D，使得△ADE′是等腰三角形？若存在，求出CD與AE′的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由．

Answer 1

分析：（1）①由∠ADB+∠BAD=135°，∠ADB+∠CDE=135°，得出∠BAD=∠CDE，推出△ABD∽△DCE．
②（ⅰ）當(dāng)AD=AE時(shí)，∠ADE=∠AED=45°時(shí)，得到∠DAE=90°，點(diǎn)D、E分別與B、C重合；
（ⅱ）當(dāng)AD=DE時(shí)，由①知△ABD∽△DCE；
（ⅲ）當(dāng)AE=DE時(shí)，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C，
故∠ADC=∠AED=90°．三種情況討論．
（2）存在，可證△ADC∽△AE′D，得到CD=AC=2，進(jìn)而得出AE′的長(zhǎng)．

解答：解：（1）①由∠BAC=90°，AB=AC，推出∠B=∠C=45°．
由∠BAD+∠ADB=135°，∠ADB+∠EDC=135°得到∠BAD=∠EDC．
推出△ABD∽△DCE．
②分三種情況：
（ⅰ）當(dāng)AD=AE時(shí)，∠ADE=∠AED=45°時(shí)，得到∠DAE=90°，點(diǎn)D、E分別與B、C重合，所以AE=AC=2．
（ⅱ）當(dāng)AD=DE時(shí)，由①知△ABD∽△DCE，
又∵AD=DE，知△ABD≌△DCE．
所以AB=CD=2，故BD=CE=2

2

-2，
所以AE=AC-CE=4-2

2

．
（ⅲ）當(dāng)AE=DE時(shí)，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C，
故∠ADC=∠AED=90°．
所以AE=DE=

1

2

AC=1．
故AE的長(zhǎng)為1；

（2）存在（只有一種情況）．
由∠ACB=45°推出∠CAD+∠ADC=45°．
由∠ADE=45°推出∠DAC+∠DE′A=45°．
從而推出∠ADC=∠DE′A．證得△ADC∽△AE′D．
所以

AC

CD

=

AD

DE′

，
又∵AD=DE′，
∴CD=AC=2．
∵△ADC∽△AE′D，
∴

AD

AE′

=

AC

AD

，
∴AD ²=AC•AE′，
過點(diǎn)A做AH⊥BC于點(diǎn)H，
則AH=

2

，DH=2+

2

，
則AD ²=AH ²+DH ²，
∴（

2

）²+（2+

2

）²=2AE′，
∴AE′=4+2

2

．

點(diǎn)評(píng)：考查相似三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形和全等三角形的轉(zhuǎn)化．分情況討論等腰三角形的可能性．