Question

25、一般來說，依據數學研究對象本質屬性的相同點和差異點，將數學對象分為不同種類的數學思想叫做“分類”的思想；將事物進行分類，然后對劃分的每一類分別進行研究和求解的方法叫做“分類討論”的方法．請依據分類的思想和分類討論的方法解決下列問題：
如圖，在△ABC中，∠ACB＞∠ABC．
（1）若∠BAC是銳角，請探索在直線AB上有多少個點D，能保證△ACD∽△ABC（不包括全等）？
（2）請對∠BAC進行恰當的分類，直接寫出每一類在直線AB上能保證△ACD∽△ABC（不包括全等）的點D的個數？

Answer 1

分析：（1）此題應分作三種情況考慮：
①點D在線段AB上，若△ACD∽△ABC，已知的等量條件是公共角∠BAC，那么必須滿足∠ACD=∠ABC，由于∠ACB＞∠ABC，因此在線段AB上，有一個符合條件的D點；
②點D在線段AB的延長線上，此時已知的等量條件仍為公共角∠BAC，由于∠ACD＞∠ACB＞∠ABC，因此這兩個三角形不可能相似，故在這種情況下，不存在符合條件的D點；
③點D在線段AB的反向延長線上，由于∠BAC是銳角，那么∠BAC＜90°＜∠DAC，根據三角形的外角性質知：∠CAD＞∠BCA＞∠ABC，因此這兩個三角形也不可能相似，故此種情況下也不存在符合條件的D點．
（2）可將∠BAC分作三種情況：
①∠BAC是銳角，②∠BAC是直角，③∠BAC是鈍角；每種情況都可按照（1）題的分類討論法進行求解．

解答：解：（1）①如圖，若點D在線段AB上，由于∠ACB＞∠ABC，可以作一個點D滿足∠ACD=∠ABC，
使得△ACD∽△ABC；（1分）
②如圖1，若點D在線段AB的延長線上，則∠ACD＞∠ACB＞∠ABC，與條件矛盾，因此，這樣的點D不存在；（1分）
③如圖2，若點D在線段AB的反向延長線上，由于∠BAC是銳角，則∠BAC＜90°＜∠CAD，不可能有△ACD∽△ABC，因此，這樣的點D不存在． （1分）
綜上所述，這樣的點D有一個．
注：③中用“∠CAD是鈍角，△ABC中只可能∠ACB是鈍角，則∠CAD＞∠ACB”說明不存在點D亦可．

（2）若∠BAC為銳角，由（1）知，這樣的點D有一個；
若∠BAC為直角，這樣的點D有兩個；
若∠BAC為鈍角，這樣的點D有1個．
注：（2）的第一個解答不寫不扣分，第二個解答回答“這樣的點D有一個”給（1分）．

點評：主要考查的是相似三角形的判定以及分類討論的數學思想，此題的難點在于怎樣分類，能夠將所有的情況都考慮到是解決此題的關鍵．