Question

如圖，∠ACB=90°，∠BAC=30°，△ABD和△ACE都是等邊三角形，F為AB中點，DE交AB于G點，下列結論中：
①EF⊥AC；②四邊形ADFE是菱形； ③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．正確的結論是（　　）

• A、②④
• B、①③
• C、②③④
• D、①③④

Answer 1

分析：運用等邊三角形的性質，平行四邊形的判定，三角形的全等即可解出本題．

解答：解：（1）如圖，連接CF，∠ABC=60°．△ABC是直角三角形，
所以CF=

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AB=AF，
△ACE是等邊三角形，
所以AE=CE，而△AEF與△CEF共一條邊，由此可知，△AEF≌△CEF．
所以A點和C點是關于EF的對稱點，EF⊥AC成立；

（2）F是AB中點，所以DF⊥AB，那么在△ADF中AD是斜邊，DF是直角邊，
即AD＞DF，由此可知四邊形ADFE不可能是菱形．

（3）∠DAB=∠ABC=60°，所以AD∥BC．AC⊥EF，∠ACB=90°，所以EF∥AD．由上可知AD∥EF．
EF=2AF=AD．
故AD=EF．
四邊形ADFE是平行四邊形，AG=

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2

AF=

1

4

AB=

1

4

AD，
即AD=4AG．

（4）由四邊形ADFE是平行四邊形可得AE=DF，AD=FE，而AD=DB，
所以DB=FE，AF=FB，
故得△DBF≌△EFA．

點評：本題綜合運用等邊三角形的性質，三角形的全等，直角三角形的中線以及平行四邊形的判定．