Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A（﹣1，0）B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；

（2）請?jiān)?/span>y軸上找一點(diǎn)M，使△BDM的周長最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）試探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A，P，C為頂點(diǎn)，AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；直線AC的解析式為y=3x+3；（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，3）；

（3）符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，﹣），

【解析】（1）設(shè)交點(diǎn)式y=a（x+1）（x-3），展開得到-2a=2，然后求出a即可得到拋物線解析式；再確定C（0，3），然后利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式；

（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定D的坐標(biāo)為（1，4），作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B′，連接DB′交y軸于M，如圖1，則B′（-3，0），利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí)MB+MD的值最小，則此時(shí)△BDM的周長最小，然后求出直線DB′的解析式即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)C作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P，如圖2，利用兩直線垂直一次項(xiàng)系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)設(shè)直線PC的解析式為y=-x+b，把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出b得到直線PC的解析式為y=-x+3，再解方程組得此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)過點(diǎn)A作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P時(shí)，利用同樣的方法可求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），

即y=ax2﹣2ax﹣3a，

∴﹣2a=2，解得a=﹣1，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣x2+2x+3=3，則C（0，3），

設(shè)直線AC的解析式為y=px+q，

把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，

∴直線AC的解析式為y=3x+3；

（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），

作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B′，連接DB′交y軸于M，如圖1，則B′（﹣3，0），

∵MB=MB′，

∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此時(shí)MB+MD的值最小，

而BD的值不變，

∴此時(shí)△BDM的周長最小，

易得直線DB′的解析式為y=x+3，

當(dāng)x=0時(shí)，y=x+3=3，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，3）；

（3）存在．

過點(diǎn)C作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P，如圖2，

∵直線AC的解析式為y=3x+3，

∴直線PC的解析式可設(shè)為y=﹣x+b，

把C（0，3）代入得b=3，

∴直線PC的解析式為y=﹣x+3，

解方程組，解得或，則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；

過點(diǎn)A作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P，直線PC的解析式可設(shè)為y=﹣x+b，

把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣，

∴直線PC的解析式為y=﹣x﹣，

解方程組，解得或，則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）.

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，﹣）.