Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M點在線段CA上，從C向A運動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒．運動時間為t秒．
（1）當t為何值時，∠AMN=∠ANM？
（2）當t為何值時，△AMN的面積最大？并求出這個最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）用t表示出AM和AN的值，根據AM=AN，得到關于t的方程求得t值即可；
（2）作NH⊥AC于H，證得△ANH∽△ABC，從而得到比例式，然后用t表示出NH，從而計算其面積得到有關t的二次函數求最值即可．
解答：解：（1）∵從C向A運動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒．運動時間為t秒．
∴AM=12-t，AN=2t
∵∠AMN=∠ANM
∴AM=AN，從而12-t=2t
解得：t=4 秒，
∴當t為4時，∠AMN=∠ANM．
              
（2）在Rt△ABC中
∵AB²=BC²+AC²
∴AB=13
如圖，作NH⊥AC于H，
∴∠NHA=∠C=90°，
∵∠A是公共角，
∴△NHA∽△BCA
∴=，
即：=，
∴NH=
從而有S_△AMN=（12-t）•=-t²+，
∴當t=6時，S最大值=．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是根據證得的相似三角形得到比例式，從而求解．