Question

（2010•湘西州）如圖，已知拋物線y=ax²-4x+c經過點A（0，-6）和B（3，-9）．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）寫出拋物線的對稱軸方程及頂點坐標；
（3）點P（m，m）與點Q均在拋物線上（其中m＞0），且這兩點關于拋物線的對稱軸對稱，求m的值及點Q的坐標；
（4）在滿足（3）的情況下，在拋物線的對稱軸上尋找一點M，使得△QMA的周長最小．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B點的坐標代入拋物線的解析式中，通過聯立方程組求得a、c的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）用配方法將（1）所得拋物線解析式化為頂點坐標式，即可得到其對稱軸方程和頂點坐標．
（3）由于點P在拋物線的圖象上，那么點P的坐標一定滿足該拋物線的解析式，將其代入拋物線的解析式中，即可求得m的值，進而可根據（2）得到的對稱軸方程求得點Q的坐標．
（4）△QMA中，QA的長是定值，若其周長最小，那么MA+MQ的值最小，由于Q、P關于拋物線的對稱軸對稱，若連接AP，那么直線AP與拋物線對稱軸的交點必為所求的M點，可先利用待定系數法求得直線AC的解析式，然后聯立拋物線的對稱軸方程求出點M的坐標．
解答：解：（1）依題意有，
即，
∴；
∴拋物線的解析式為：y=x²-4x-6．

（2）把y=x²-4x-6配方得，y=（x-2）²-10，
∴對稱軸方程為x=2；
頂點坐標（2，-10）．

（3）由點P（m，m）在拋物線上，
有m=m²-4m-6，
即m²-5m-6=0，
∴m₁=6或m₂=-1（舍去），
∴P（6，6），
∵點P、Q均在拋物線上，且關于對稱軸x=2對稱，
∴Q（-2，6）．

（4）連接AQ，AP，直線AP與對稱軸x=2相交于點M，由于P，Q兩點關于對稱軸對稱，由軸對稱性質可知，此時的交點M，能夠使得△QAM的周長最小；
設直線PA的解析式y=kx+b，
∴有，
∴，
∴直線PA的解析式為：y=2x-6；
設點M（2，n），
則有n=2×2-6=-2，
此時點M（2，-2）能夠使得△AMQ的周長最小．
點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、拋物線頂點坐標的求法、函數圖象上點的坐標意義、平面展開-最短路徑等知識點，難度適中．