Question

（2010•湘西州）如圖，已知拋物線y=ax²-4x+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，-6）和B（3，-9）．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）寫出拋物線的對(duì)稱軸方程及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P（m，m）與點(diǎn)Q均在拋物線上（其中m＞0），且這兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，求m的值及點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（4）在滿足（3）的情況下，在拋物線的對(duì)稱軸上尋找一點(diǎn)M，使得△QMA的周長最小．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組求得a、c的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）用配方法將（1）所得拋物線解析式化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，即可得到其對(duì)稱軸方程和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）由于點(diǎn)P在拋物線的圖象上，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)一定滿足該拋物線的解析式，將其代入拋物線的解析式中，即可求得m的值，進(jìn)而可根據(jù)（2）得到的對(duì)稱軸方程求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
（4）△QMA中，QA的長是定值，若其周長最小，那么MA+MQ的值最小，由于Q、P關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，若連接AP，那么直線AP與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)必為所求的M點(diǎn)，可先利用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式，然后聯(lián)立拋物線的對(duì)稱軸方程求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
解答：解：（1）依題意有，
即，
∴；
∴拋物線的解析式為：y=x²-4x-6．

（2）把y=x²-4x-6配方得，y=（x-2）²-10，
∴對(duì)稱軸方程為x=2；
頂點(diǎn)坐標(biāo)（2，-10）．

（3）由點(diǎn)P（m，m）在拋物線上，
有m=m²-4m-6，
即m²-5m-6=0，
∴m₁=6或m₂=-1（舍去），
∴P（6，6），
∵點(diǎn)P、Q均在拋物線上，且關(guān)于對(duì)稱軸x=2對(duì)稱，
∴Q（-2，6）．

（4）連接AQ，AP，直線AP與對(duì)稱軸x=2相交于點(diǎn)M，由于P，Q兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，由軸對(duì)稱性質(zhì)可知，此時(shí)的交點(diǎn)M，能夠使得△QAM的周長最小；
設(shè)直線PA的解析式y(tǒng)=kx+b，
∴有，
∴，
∴直線PA的解析式為：y=2x-6；
設(shè)點(diǎn)M（2，n），
則有n=2×2-6=-2，
此時(shí)點(diǎn)M（2，-2）能夠使得△AMQ的周長最小．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)意義、平面展開-最短路徑等知識(shí)點(diǎn)，難度適中．