Question

如圖，在等邊△ABC中，AB=4，點P是AB上任意一點，過P作PE⊥BC于E；過E作EF⊥AC于F；過F作FQ⊥AB于Q．設BP=x，AQ=y，用含x的式子填空，并解答有關問題．
（1）根據題意可得，BE=

1

2

BP，∴BE=

1

2

x，∴EC=4-

1

2

x
又FC=

1

2

EC，∴FC=

 

，∴AF=4-FC=

 

又AQ=

1

2

AF，∴AQ=

 

，
∴y與x之間的函數關系式為

 

（2）當AQ=1.2時，求BP的長度；
（3）當BP的長度等于多少時，點P與點Q重合？

Answer 1

分析：（1）正三角形的每一個角等于60°，再由垂直，得出∠BPE=∠CEF=∠AFQ=30°，在直角三角形中，30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，據此推出答案．
（2）（3）代入數據進行計算即可．

解答：解：（1）∵PE⊥BC，EF⊥AC，FQ⊥AB，∴∠BPE=∠CEF=∠AFQ=30°，
∵AB=4，∴FC=

1

2

EC，∴FC=2-

1

4

x，∴AF=4-FC=2+

1

4

x，
又AQ=

1

2

AF，∴AQ=1+

1

8

x，
∴y與x之間的函數關系式為y=1+

1

8

x；

（2）當AQ=1.2時，即y=1.2時，1.2=1+

1

8

x，解得x=1.6，
∴當AQ=1.2時，求BP的長度為1.6；

（3）∵點P與點Q重合，∴x+y=4，∴x+1+

1

8

x=4，解得x=

8

3

，
∴當BP的長度等于

8

3

時，點P與點Q重合．

點評：本題是一個綜合題，難度不大，主要考查在直角三角形中，30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半．