Question

已知AB為⊙O的直徑，點C為圓外一點，AC交⊙O 于點D，過點D作DE⊥BC于點E，AB=BC=4，∠ABC=120°．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若以點C為圓心畫一個半徑為r的圓，使得這個圓上有且只有兩個點到點O的距離為2，求r的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）連接OD、BD，只要證明OD⊥DE即可．
（2）過點C作CF⊥AB交AB的延長線于點F，連接CO交⊙O于點G．在Rt△CBF中，由BF=2，CF=2

3

，根據勾股定理得到OC的長后即可確定r的取值范圍．

解答：證明：（1）連接OD，BD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴BD⊥AC，
又∵BA=BC，
∴點D為AC的中點．
∵點O為AB的中點，
∴OD∥BC，
又∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD是半徑，
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：過點C作CF⊥AB交AB的延長線于點F，連接CO交⊙O于點G，
∵AB=BC=4，∠ABC=120°，
∴∠CBF=60°，
∴∠BCF=30°，
在Rt△CBF中，BF=2，CF=2

3

．
有勾股定理得：OC=

OF2+CF2

=

42+(2 3 )2

=2

10

，
所以當以2

10

-2＜r＜2

10

+2時，以點C為圓心的圓有且只有兩個點到點O的距離為2．

點評：本題考查了圓的綜合知識，特別是在判定切線時，往往是連接圓心和切點，利用經過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線來判定切線．