Question

已知點A、B、C是半徑長為2的半圓O上的三個點，其中點A是弧BC的中點（如圖），聯結AB、AC，點D、E分別在弦AB、AC上，且滿足AD=CE．
（1）求證：OD=OE；
（2）聯結BC，當BC=2時，求∠DOE的度數；
（3）若∠BAC=120°，當點D在弦AB上運動時，四邊形ADOE的面積是否變化？若變化，請簡述理由；若不變化，請求出四邊形ADOE的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證出△AOB≌△AOC，∠CAO=∠ABO，再根據BD=AE，證出△BOD≌△AOE，即可得出OD=OE；
（2）設OA和BC交于M，得出∠AOB=∠AOC，∠BOD=∠AOE，∠AOD=∠COE，則∠DOE=∠BOC，∠AOC=∠BOC，再根據AB=AC，得出OA⊥BC，CM=BC=，最后根據sin∠COM==，得出∠COM=45°，∠BOC=90°，∠DOE=∠BOC=45°；
（3）先證出S_△AOB=S_△AOC，S_△BOD=S_△AOE，S_△AOB-S_△BOD=S_△AOC-S_△AOE，S_△AOD=S_△COE，得出S_△AOE+S_△AOD=S_△BOD+S_△COE，S_{四邊形ADOE}=S_{四邊形ABOC}，即可證出當點D在弦AB上運動時，四邊形ADOE的面積沒有變化，再根據∠ABC=120°，得出∠OAB=∠OAC=60°，ABOC是菱形，再求出AM=1，BC=2，得出S_菱形ABOC=2，最后根據S_{四邊形ADOE}=S_{四邊形ABOC}即可得出答案．
解答：解：（1）∵A是弧BC的中點，
∴AB=AC，
連接OB、OA、OC，
∵在△AOB和△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠CAO=∠ABO，
∵AD=CE，
∴AB-AD=AC-CE，
即BD=AE，
∵在△BOD和△AOE中，
，
∴△BOD≌△AOE（SAS），
∴OD=OE；

（2）設OA和BC交于M，
∵△AOB≌△AOC，
∴∠AOB=∠AOC，
∵△BOD≌△AOE，
∴∠BOD=∠AOE，
∴∠AOD=∠COE，
∴∠DOE=∠AOE+∠AOD=∠BOC，
∠AOC=∠AOE+∠COE=∠BOC，
∵AB=AC，
∴OA⊥BC，CM=BC=，
∴sin∠COM==，
∴∠COM=45°，
∴∠BOC=90°，
∴∠DOE=∠BOC=45°；

（3）∵△AOB≌△AOC，
∴S_△AOB=S_△AOC，
∵△BOD≌△AOE，
∴S_△BOD=S_△AOE，
∴S_△AOB-S_△BOD=S_△AOC-S_△AOE，
∴S_△AOD=S_△COE，
∴S_△AOE+S_△AOD=S_△BOD+S_△COE，
∴S_{四邊形ADOE}=S_{四邊形ABOC}，
∴當點D在弦AB上運動時，四邊形ADOE的面積沒有變化，
∵∠ABC=120°，
∴∠OAB=∠OAC=60°，
∴ABOC是菱形，
∴AM=AO=1
CM===，
∴BC=2，
∴S_菱形ABOC=×2×2=2，
∴S_{四邊形ADOE}=S_{四邊形ABOC}=．
點評：此題考查了圓的綜合，用到的知識點是垂徑定理、菱形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等，關鍵是綜合應用有關知識，列出算式．