Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點A為第二象限內一點，過點A作x軸垂線交x軸于點B，點C為x軸正半軸上一點，且OB、OC的長分別為方程x²-4x+3=0的兩根（OB＜OC）．
（1）求B、C兩點的坐標；
（2）作直線AC，過點C作射線CE⊥AC于C，在射線CE上有一點M（5，2），求直線AC的解析式；
（3）在（2）的條件下，坐標平面內是否存在點Q和點P（點P在直線AC上），使以O、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）依題意OB，OC分別為方程x²-4x+3=0的兩根，求解后可求出點B，C的坐標．
（2）設CE的直線解析式為y=kx+b，把已知坐標代入可得解析式，然后根據CE⊥AC求出直線AC的解析式即可．
（3）已知點P在直線AC上，要作以O、C、P、Q為頂點的菱形，CP=OC，根據OC的長度，并且依據直線AC的解析式，即可求得P的坐標，OC必須平行且相等于QP，即可求得Q的坐標．

解答：解：（1）解方程x²-4x+3=0得x₁=1，x₂=3．
依題意得點B的坐標是（-1，0），C（3，0）．

（2）設CE的直線解析式為y=kx+b，把點C，M的坐標代入可得

0=3k+b 2=5k+b

?

k=1 b=-3

．
得出CE的直線解析式為y=x-3，
又因為直線CE⊥AC，故直線AC的解析式為y=-x+3．

（3）存在．
Q₁（3，3）；Q₂（-

3 2

2

，

3 2

2

）；Q₃（

3 2

2

，-

3 2

2

）；Q₄（

3

2

，-

3

2

）．

點評：本題考查的是一次函數的綜合運用，菱形的性質以及一元二次方程的有關知識，難度中等．