Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知直線y=kx+6與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且△ABO的面積為12．

（1）求k的值；
（2）若點P為直線AB的一動點，P點運動到什么位置時，△PAO使以OA為底的等腰三角形？求出此時點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，坐標平面內是否存在點M，使以P、B、O、M為頂點組成的平行四邊形為菱形？若存在，求出點M坐標；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=kx+b，

∴B（0，6），

∴OB=6．

∵S△ABO=12，

∴ 6OA=12，

∴OA=4，

∴A（﹣4，0），

把A（﹣4，0）代入y=kx+6，可得k= ．

（2）解：∵△PAO使以OA為底的等腰三角形，

∴PA=PO，

∴∠PAO=∠POA，

∵∠PAO+∠ABO=90°，∠POA+∠POB=90°，

∴∠PBO=∠POB，

∴PB=PO，

∴PA=PB，

∵A（﹣4，0），B（0，6），

∴P（﹣2，3）．

（3）解：存在．

①如圖1中，當四邊形PBMO是平行四邊形時，

∵PB=PO，

∴四邊形PBMO是菱形，易知P、M關于y軸對稱，

∴M（2，3）．

②如圖2中，當四邊形PBOM是平行四邊形時，

∵PB≠OB，

∴平行四邊形PBMO表示菱形．

③如圖3中，當四邊形OPMB是平行四邊形時，

∵OP≠OB，

∴四邊形OPMB表示菱形．

綜上所述，滿足條件的點M的坐標為（2，3）．

【解析】（1）利用三角形的面積公式求出點A的坐標即可，利用待定系數法解決問題；（2）當△PAO使以OA為底的等腰三角形時，P是AB的中點，利用中點坐標公式即可解決問題；（3）分三種情形討論即可解決問題；