Question

設有k個自然數a₁，a₂，…，a_k滿足條件1≤a₁＜a₂＜…＜a_k≤50，并且任意兩個數的和都不能被7整除，那么這些自然數的個數k最多為

23

．

Answer 1

分析：把所有自然數按被7除余數分類，對于任意兩個數的和都不能被7整除，余數只能為（1，2，3）或（4，5，6）任意兩個數的和符合要求，由此解決問題．

解答：解：a₁，a₂，…，a_k被7除余數分別為0，1，2，3，4，5，6，
余數只能為（1，2，3）或（4，5，6）任意兩個數的和都不能被7整除，
因為1，2，3，…，，49這49個數被7除余數分別為0，1，2，3，4，5，6，正好循環7次，50除以7的余數是1，
由此可知余數為（1，2，3）的數有3×7+1=22個符合要求，
另外只放一個7的倍數也可以使任意兩個數的和都不能被7整除，
因此這些自然數的個數k最多為 22+1=23個．
故答案為23．

點評：此題主要利用一個自然數被7除的余數進行分析討論，尋找解決問題的突破口．