Question

7、設有101個自然數，記為a₁，a₂，…，a₁₀₁．已知a₁+2a₂+3a₃+…+100a₁₀₀+101a₁₀₁=s是偶數，
求證：a₁+a₃+a₅+…+a₉₉+a₁₀₁是偶數．

Answer 1

分析：首先利用偶數乘以任何一個自然數都是偶數，任何偶數相加減的結果都是偶數，把式子a₁+2a₂+3a₃+…+100a₁₀₀+101a₁₀₁=s是偶數里面的與偶數相乘的項去掉，只討論a₁+3a₃+5a₃…+101a₁₀₁的奇偶性即可，再進一步利用奇數+奇數=偶數，奇數×奇數=奇數討論解答即可解決問題．

解答：證明：∵a₁+2a₂+3a₃+…+100a₁₀₀+101a₁₀₁=s是偶數，
而2a₂+4a₄+…+100a₁₀₀=s₁也是偶數，
∴a₁+3a₃+5a₃…+101a₁₀₁一定是偶數，
a₁+a₃+a₅+…+a₉₉+a₁₀₁與a₁+3a₃+5a₃…+101a₁₀₁的奇偶性是相同的，
①a₁+a₃+a₅+…+a₉₉+a₁₀₁這51個數的和，如果里面有奇數個偶數，偶數個奇數，
可以得到計算的結果是偶數，推出結論與已知相同；
②a₁+a₃+a₅+…+a₉₉+a₁₀₁這51個數的和，如果里面有偶數個偶數，奇數個奇數，
可以得到計算的結果是奇數，推出結論與已知相矛盾，假設不成立；
綜上所知a₁+a₃+a₅+…+a₉₉+a₁₀₁是偶數．

點評：此題主要考查運用奇數+奇數=偶數，奇數×奇數=奇數，偶數+偶數=偶數，偶數-偶數=偶數，偶數×偶數=偶數，奇數×偶數=偶數指意計算規律解決問題．