Question

如圖，已知四邊形ABCD是正方形，分別過A、C兩點作l₁∥l₂，作BM⊥l₁于M，DN⊥l₁于N，直線MB、ND分別交l₂于Q、P．求證：四邊形PQMN是正方形．

Answer 1

【答案】分析：可由Rt△ABM≌Rt△DAN，AM=DN同理可得AN=NP，所以MN=PN，進而可得其為正方形．
解答：證明：l₁∥l₂，BM⊥l₁，DN⊥l₂，
∴∠QMN=∠P=∠N=90°，
∴四邊形PQMN為矩形，
∵AB=AD，∠M=∠N=90°
∠ADN+∠NAD=90°，∠NAD+∠BAM=90°，
∴∠ADN=∠BAM，
又∵AD=BA，
∴Rt△ABM≌Rt△DAN（HL），
∴AM=DN
同理AN=DP，
∴AM+AN=DN+DP，即MN=PN．
∴四邊形PQMN是正方形．
點評：本題考查了矩形的判定和性質、全等三角形的判定和性質以及正方形的判定，解題的關鍵是熟練掌握各種幾何圖形的性質和判定方法．