Question

如圖，在正方形紙片ABCD中，對角線AC、BD交于點O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合，展開后折痕DE分別交AB、AC于點E、G，連接GF．下列結論 ①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③；④四邊形AEFG是菱形；⑤BE=2OG．其中正確的結論有                          （  ▲ ）

A．①④⑤    B．①②④     C．③④⑤      D．②③④     

Answer 1

A解析:
因為在正方形紙片ABCD中，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合，所以∠GAD=45°，∠ADG=∠ADO=22.5°
因為tan∠AED= ，因為AE=EF＜BE，
所以AE＜ AB，所以tan∠AED= ＞2，因此②錯
因為AG=FG＞OG，△AGD與△OGD同高，
所以S△AGD＞S△OGD，所以③錯
根據題意可得：AE=EF，AG=FG，又因為EF∥AC，
所以∠FEG=∠AGE，又因為∠AEG=∠FEG，
所以∠AEG=∠AGE，所以AE=AG=EF=FG，
所以四邊形AEFG是菱形，因此④正確
由折疊的性質設BF=EF=AE=1，則AB="1+" ，BD="2+" ，DF="1+" ，
由此可求，
因為EF∥AC，
所以△DOG∽△DFE，
所以，
∴EF=  OG，
在直角三角形BEF中，∠EBF=45°，
所以△BEF是等腰直角三角形，同理可證△OFG是等腰直角三角形，
在等腰直角三角形BEF和等腰直角三角形OFG中，BE²=2EF²=2GF²=2×2OG²，
所以BE=2OG．因此⑤正確．