Question

情境觀察 將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示.將△A′C′D的頂點A′與點A重合，并繞點A按逆時針方向旋轉，使點D、A(A′)、B在同一條直線上，如圖2所示．觀察圖2可知：與BC相等的線段是        ，∠CAC′=          °．

問題探究 如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q. 試探究EP與FQ之間的數量關系，并證明你的結論.

拓展延伸 如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點H. 若AB=" k" AE，AC=" k" AF，試探究HE與HF之間的數量關系，并說明理由.                                                                                  

Answer 1

情境觀察
AD（或A′D），90  ………2分
問題探究
結論：EP=FQ.  ……………………………3分
證明：∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.
∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.
∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.
同理AG=FQ.  ∴EP="FQ." …………………………………7分

拓展延伸
結論：HE=HF.  ……………………………8分
理由：過點E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分別為P、Q.
∵四邊形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠EAP.
∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴ = .
同理△ACG∽△FAQ，∴ =.
∵AB=" k" AE，AC=" k" AF，∴ = = k，∴ . ∴EP="FQ."
∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE="HF" …………………12分解析:
①觀察圖形即可發現△ABC≌△AC′D，即可解題；
②易證△AEP≌△BAG，△AFQ≌△CAG，即可求得EP=AG，FQ=AG，即可解題；
③過點E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分別為P、Q．根據全等三角形的判定和性質即可解題．