Question

情境觀察
將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示．將△A′C′D的頂點A′與點A重合，并繞點A按逆時針方向旋轉，使點D、A（A′）、B在同一條直線上，如圖2所示．
觀察圖2可知：與BC相等的線段是

AD或A′D

，∠CAC′=

90

°．

問題探究
如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q．試探究EP與FQ之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，利用矩形性質即可得出與BC相等的線段以及∠CAC′的度數；
（2）根據全等三角形的判定得出△ABG≌△EAP，進而求出AG=EP．同理AG=FQ，即EP=FQ．

解答：解：（1）根據將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，
∴與BC相等的線段是 AD或A′D，
∵∠C′AD=∠C，
∠C+∠CAB=90°，
∴∠C′AD+∠CAB=90°
∴∠CAC′=90°；      

（2）EP=FQ，理由如下：
∵Rt△ABE是等腰三角形，
∴EA=BA，
∠PEA+∠PAE=90°，
∠PAE+∠BAG=90°，
∴∠PEA=∠BAG，
∴

∠EPA=∠AGB ∠PEA=∠BAG EA=AB

，
∴△ABG≌△EAP（AAS），
∴AG=EP．
同理AG=FQ． 
∴EP=FQ．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及等腰直角三角形的性質，根據已知得出△ABG≌△EAP是解題關鍵．