Question

如圖所示，已知：點A（0，0），B（

3

，0），C（0，1）．在△ABC內依次作等邊三角形，使其一邊在x軸上，另一個頂點在BC邊上，作出的等邊三角形分別是第1個△AA₁B₁，第2個△B₁A₂B₂，第3個△B₂A₃B₃，…，則①∠CBO=

 

度；②A₅B₅=

 

．

Answer 1

分析：①利用正切函數求得∠CBO的度數．
②首先過點A₁作A₁E垂直BC于點E，并設AE=EB₁=x．不難證得△EA₁B∽△ACB，根據對應邊成比例，求得x的值．再利用同樣的原理求得，第2個△B₁A₂B₂的邊長，第3個△B₂A₃B₃邊長為，…直至第5個等邊三角形的邊長．

解答：解：①∵tan∠CBO=

AC

AB

=

1

3

=

3

3

∴∠CBO=30°
②如圖，過A₁作A₁E垂直BC于點E
設AE=EB₁=x
∵在△ABC中，A₁E∥OC
∴△EA₁B∽△ACB
∴

A1E

CA

=

BE

BA

，即

3 x

1

=

3 - x

3

解得x=

3

4

所以△AA₁B₁的邊長為

3

2

同理，第2個△B₁A₂B₂的邊長為

3

4

，第3個△B₂A₃B₃邊長為

3

8

，…
所以第5個等邊三角形的邊長等于

3

32

故答案為30，

3

32

點評：本題是一道一次函數的綜合題．解決本題的關鍵是恰當添加輔助線，并最計算過程中注意根據第1三角形的邊長，第2個△B₁A₂B₂的邊長，第3個△B₂A₃B₃邊長為，…總結出規律．