Question

如圖，以OA₁=2為底邊做等腰三角形，使得第三個頂點C₁恰好在直線y=x+2上，并以此向左、右依此類推，作一系列底邊為2，第三個頂點在直線y=x+2上的等腰三角形．
（1）底邊為2，頂點在直線y=x+2上且面積為21的等腰三角形位于圖中什么位置？
（2）求證：y軸右側的每一個等腰三角形的面積都等于前后兩個以腰為一邊的三角形面積之和的一半（如：S_右1=，S_右2=）．
（3）過D₁、A₁、C₂三點畫拋物線．問在拋物線上是否存在點P，使得△PD₁C₂的面積是△C₁OD₁與△C₁A₁C₂面積和的？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設等腰三角形的頂點坐標為（x，x+2）．
∵等腰三角形的底邊在x軸上，∴高為：|x+2|，
由題意，有×2×|x+2|=21，
即|x+2|=21，
解得：x=-23或x=19，
設面積為21的等腰三角形是第n個三角形，則2n-1=19，或-2n+1=-23，
解得n=10或n=12，
∴在y軸的右邊從左到右第10個或y軸的左邊從右到左第12個；

（2）∵y軸右側第n個等腰三角形A_n-1A_nC_n的底邊兩端點坐標為：A_n-1（2n-2，0），A_n（2n，0），
∴面積為：×2（2n-1+2）=2n+1，
前后兩個非等腰三角形的面積和為：×2（2n-2+2+2n+2）=4n+2．
∴y軸右側的每一個等腰三角形的面積都等于前后兩個以腰為一邊的三角形面積之和的一半；

（3）∵以OA₁=2為底邊做等腰三角形，∴A₁的坐標為：（2，0），
∵第三個頂點C₁恰好在直線y=x+2上，∴C₁的坐標為：（1，3），則C₂的坐標為：（3，5），
∵B₁的坐標為：（-2，0），∴D₁的坐標為：（-1，1）．
設過D₁，A₁，C₂三點的拋物線解析式為：y=ax²+bx+c，
將D₁，A₁，C₂三點代入，
得：，解得：，
∴過D₁，A₁，C₂三點的拋物線解析式為：y=x²-x-2，
由（2）知，△C₁OD₁與△C₁A₁C₂面積和等于△OA₁C₁面積的2倍，即為：2××2×3=6．
設在拋物線上存在點P（x，y），使得△PD₁C₂的面積是△C₁OD₁與△C₁A₁C₂面積和的．
分兩種情況：
①當點P在直線y=x+2下方時：
則有×4×[x+2-（x²-x-2）]=×6，
解得：x₁=0，x₂=2．
當x=0時，y=x²-x-2=-2．
當x=2時，y=x²-x-2=0．
∴P₁（0，-2），P₂（2，0）；
②當點P在直線y=x+2的上方時：
則有（x+1）[+y-5]=×6，
得：y-x-6=0，即x²-x-8=0，
x²-2x-6=0，
解得x=1±．
當x=1+時，y=x²-x-2=7+．
當x=1-時，y=x²-x-2=7-．
∴P₃（1+，7+），P₄（1-，7-）．
故存在符合條件的點P，它們的坐標是P₁（0，-2），P₂（2，0），P₃（1+，7+），P₄（1-，7-）．
分析：（1）設等腰三角形的頂點坐標為（x，x+2）．先根據三角形的面積為21，得出關于x的方程，再解方程求出x的值，進而可求解；
（2）分別求出y軸右側第n個等腰三角形A_n-1A_nC_n的面積與其前后兩個非等腰三角形的面積和，比較即可；
（3）先運用待定系數法求出過D₁、A₁、C₂三點的拋物線的解析式，由（2）的結論得出△C₁OD₁與△C₁A₁C₂的面積和，再設在拋物線上存在點P（x，y），使得△PD₁C₂的面積是△C₁OD₁與△C₁A₁C₂面積和的，然后分兩種情況進行討論：①點P在直線y=x+2的下方，②點P在直線y=x+2的上方．針對這兩種情況，都可以根據△PD₁C₂的面積是△C₁OD₁與△C₁A₁C₂面積和的，列出方程，解方程即可．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識有運用待定系數法求二次函數的解析式，平面直角坐標系中三角形的面積的求法以及學生由特殊到一般的歸納總結能力，難度較大，體現了數形結合的思想，其中第三問進行分類討論是解題的關鍵，運用坐標表示三角形的面積是難點．