Question

如圖，已知△ABC內接于⊙O，點D在OC的延長線上，∠ABC=∠CAD．
（1）若∠ABC=20°，則∠OCA的度數為______；
（2）判斷直線AD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（3）若OD⊥AB，BC=5，AB=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OA，由圓周角定理可得∠AOC的度數，又由等腰三角形的性質，即可求得∠OCA的度數；
（2）連接OA，由圓周角定理可得∠AOC的度數，又由等腰三角形的性質，繼而求得∠OAD的度數，繼而證得直線AD與⊙O的位置關系；
（3）設OD與AB的交點為點G，由垂徑定理可求得AG的長，然后由勾股定理可得在Rt△OGA中，設OA=x，由OA²=OG²+AG²，得x²=（x-3）²+4²，解此方程即可求得答案．
解答：解：（1）連接OA，
∵∠ABC=20°，
∴∠AOC=2∠ABC=40°，
∵OA=OC，
∴∠OCA==70°；

（2）相切．
理由如下：法一：連接OA，
則∠ABC=∠AOC，
在等腰△AOC中，∠OAC=90°-∠AOC，
∴∠OAC=90°-∠ABC．
∵∠ABC=∠CAD，
∴∠OAD=∠OAC+∠CAD=90°-∠ABC+∠ABC=90°，
即OA⊥AD，而點A在⊙O上，
∴直線AD與⊙O相切．
法二：連接OA，并延長AO與⊙O相交于點E，連接EC．
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ECA=90°，
∴∠EAC+∠AEC=90°．
又∵∠ABC=∠AEC，∠ABC=∠CAD，
∴∠EAC+∠CAD=90°．
即OA⊥AD，而點A在⊙O上，
∴直線AD與⊙O相切．

（3）設OD與AB的交點為點G．
∵OD⊥AB，
∴AG=GB=AB=×8=4．AC=BC=5，
在Rt△ACG中，GC==3．
在Rt△OGA中，設OA=x，由OA²=OG²+AG²，
得x²=（x-3）²+4²，．
解得x=，
即⊙O的半徑為．                   
故答案為：70°．
點評：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、切線的判定以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想與方程思想的應用．