Question

23、已知，等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，直線l過點C，過點A，B分別作l的垂線，垂足分別為E，F．
（1）觀察圖（1），你能發現EF、AE、BF三者之間的一種數量關系嗎？請你將它寫出來；
（2）在圖（2）中，上面的關系成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；
（3）當直線l繞點C轉到什么位置時EF=BF-AE？在圖（3）中畫出直線l及AE和BF（不必證明）．

Answer 1

分析：（1）由題中條件可知ABFE是矩形，且AB∥EF，則∠EAC=∠ECA=∠CAB=45°，所以AE=EC；同理可得BF=FC，即可得EF=AE+BF；
（2）由AAS可以確定△AEC≌△CFB（AAS），得到AE=CF，EC=FB，即得
EF=AE+BF．
（3）當l繞點C轉到AB之間位置時EF=BF-AE．

解答：解：（1）EF=AE+BF．（2分）

（2）成立；（3分）
證明：∵∠EAC+∠ACE=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠EAC=∠FCB，
又∵∠AEC=∠CFB=90°，且AC=BC，
∴△AEC≌△CFB（AAS）．（6分）
∴AE=CF，EC=FB．（7分）
∴EF=AE+BF．（8分）

（3）如右圖．（9分）

點評：本題主要考查直角三角形全等的判定，先根據已知條件或求證的結論確定直角三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．