Question

（2000•寧波）如圖，過⊙O外一點A向⊙O引割線AEB，ADC，DF∥BC，交AB于F．若CE過圓心O，D是AC中點．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若FE，FB的長是方程x²-mx+b²=0（b＞0）的兩個根，且△DEF與△CBE相似．
①試用m的代數式表示b；
②代數式的值達到最小時，求BC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證DF是⊙O的切線，只需證明FD⊥OD即可．
（2）根據相似三角形的性質及根與系數的關系，即可得到所求的代數式；
（3）將b=m代入代數式可得：m²-12m+7，當它有最小值時，m=-=．因為△CEB與△CBD全等，可推出EC=2EB，利用勾股定理可得CB的式子，再分別將m的值代入即可求得CB的值．
解答：（1）證明：∵CE過圓心O，
∴CB⊥AB；
∵FD∥BC，
∴FD⊥AB；
∵CE過圓心O，D是AC的中點，
∴OD∥AB；
∴FD⊥OD；
∴DF是圓O的切線．

（2）解：∵△DEF∽△CBE，
∴；
∵=，BE=BF-EF，
∴=，
∴BF=3EF；
∵FE+FB=m，FE•FB=b²，
∴EF=，BF=；
∴•=b²；
∴b=m（b＞0）．

（3）解：將b=m代入代數式得：m²-6m+7，
當它有最小值時，m==；
∵△CEB≌△CBD，
∴CB=CD；
∵CD=AC，
∴CB=AC，
∴∠A=30°，
∴∠ECB=∠A=30°，
∴EC=2EB；
∴CB=；
∴CB=BE=m；
∵m=，
∴BC=2．
點評：此題考查了圓的切線的判定、相似三角形的性質、全等三角形的性質及勾股定理等知識．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．