Question

如圖，A、P、B、C是⊙O上的四點，∠APC=∠CPB=60°．
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）已知△ABC的邊長為4cm，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）可通過證明三角形的內角都是60°來得出結論，思路是通過等弧所對的圓周角相等來得出三角形內的其中兩個內角為60°來證得．
（2）可通過構建直角三角形來求解，連接AO延長AO交BC于D，然后用半徑表示出OD，OB，在直角三角形OBD中用勾股定理來求出半徑的長．

解答：（1）證明：∵∠APC=∠ABC，∠CPB=∠BAC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°．
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°．
∴△ABC是等邊三角形．

（2）解：連接AO并延長其交BC于D，那么AD⊥BC，連接OB．
∵AD⊥BC，AB=AC
∴∠BAD=

1

2

∠BAC=30°
∴在直角三角形ABD中，AB=4，BD=2
根據勾股定理AD=2

3

．
直角三角形OBD中，OD=AD-OA=AD-OB=2

3

-OB，BD=2，
根據勾股定理可得：OB²=BD²+OD²
即OB²=（2

3

-OB）²+4．
解得：OB=

4 3

3

．
因此⊙O的半徑是

4 3

3

cm．

點評：本題考查了圓周角定理，垂徑定理等綜合知識的應用，根據圓周角定理得出等邊三角形是本題解題的關鍵．