Question

如圖所示，菱形ABCD的邊長為6cm，∠DAB=60°，點M是邊AD上一點，DM=2cm，點E、F分別從A、C同時出發，以1cm/s的速度分別沿邊AB、CB向點B運動，EM、CD的延長線相交于G，GF交AD于O．設運動時間為x（s），△CGF的面積為y（cm²）．
（1）當x為何值時，GD的長度是2cm？
（2）求y與x之間的函數關系式；
（3）是否存在某一時刻，使得線段GF把菱形ABCD分成的上、下兩部分的面積之比為1：5？若存在，求出此時x的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）易證△DMG∽△AME，故有=，故有當x=4s時，GD的長度是2cm．
（2）過F作FH⊥DC于H點，則有y=GC•FH，故利用相似三角形的性質和正弦的概念求得GC和FH的值即可，
（3）過D作DP⊥BC于P，由菱形的高PD=6×sin60°=，求得菱形的面積，所以當S_梯形ODCF=S_菱形時有使得線段GF把菱形ABCD分成的上、下兩部分的面積之比為1：5，利用相似三角形的性質，用x表示出梯形的上下底OD，CF，代入面積公式中建立方程而求解．
解答：解：（1）∵DC∥AB，
∴△DMG∽△AME，
∴，
∴，
即當x=4s時，GD的長度是2cm．

（2）∵△DMG∽△AME，
∴，
∴，
∴GC=，
過F作FH⊥DC于H點，
∴FH=CF•sin60°=，
∴y=GC•FH，
=．

（3）設運動x（s）時，GF分菱形上、下兩部分的面積比為1：5，
此時△OGD∽△FGC，
∴，
∴，
過D作DP⊥BC于P，則PD=6×sin60°=，
由題意知，，
即，
解得：（舍去），
經檢驗：是原方程的解．
∴當時，GF分菱形上、下兩部分的面積比為1：5．
點評：本題利用了菱形和梯形的性質，銳角三角函數的概念，相似三角形的判定和性質，分式方程的解法，