Question

26、如圖所示，Rt△ABC中，∠BAC=Rt∠，AD⊥BC于點D，∠ABC的平分線交AD于O，交AC于E，OG∥AC交BC于G．
（1）求證：∠1=∠2．
（2）求證：△BAO≌△BGO．
（3）求證：四邊形AOGE是菱形．

Answer 1

分析：（1）因為∠BAC=Rt∠，所以∠6+∠1=90°，又因為AD⊥BC，所以∠7+∠5=90°，因BE是∠ABC的平分線，故∠6=∠7，∠5=∠1，∠5與∠2是對頂角，即∠5=∠2，所以可求證∠1=∠2；
（2）因為OG∥AC，所以∠3=∠C，又因為∠4=∠C，所以有∠3=∠4，因BE是∠ABC的平分線，則∠ABO=∠GBO，BO共邊，即可根據AAS判定△BAO≌△BGO；
（3）因為△BAO≌△BGO，所以OA=OG，又因為∠1=∠2，所以OA=AE，即有OG平行且等于AE，故AOGE為平行四邊形，又因為OA=OG，所以可求證四邊形AOGE是菱形．

解答：證明：（1）∵∠BAC=Rt∠
∴∠6+∠1=90°
∵AD⊥BC
∴∠7+∠5=90°
∵BE是∠ABC的平分線
∴∠6=∠7
∴∠5=∠1
又∵∠5=∠2
∴∠1=∠2；

（2）∵OG∥AC
∴∠3=∠C
∵∠4=∠C
∴∠3=∠4
∵BE是∠ABC的平分線
∴∠ABO=∠GBO
∵OB=OB
∴△BAO≌△BGO；

（3）∵△BAO≌△BGO
∴OA=OG
∵∠1=∠2
∴OA=AE
∴OG平行且等于AE
∴AOGE為平行四邊形
∵OA=OG
∴AOGE為菱形．

點評：本題綜合考查三角形全等的判定方法和菱形的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．