Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，將線段AC繞著點C逆時針旋轉得到線段CD，旋轉角為α．

（1）如圖，∠BAC=90°，α=45°，試求點D到邊AB，AC的距離的比值；

（2）如圖，∠BAC=100°，α=20°，連接AD，BD，求∠CBD的大小．

Answer 1

【答案】（1）；（2）30°

【解析】

（1）先找出點D的位置，求出△BDF∽△CDE，得出比例式，再解直角三角形求出即可；

（2）在BC上截取CF=AD，連接DF，求出△DCF≌△BAD，根據全等三角形的性質得出∠ABD=∠CDF，BD=DF，再求出答案即可．

（1）如圖1，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠C=45°，

∵α=45°，

∴點D恰好落在BC上，

過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E，F，則有：∠BED=∠DFC=90°，

∴△BDF∽△CDE，

∴=，

設AB=AC=m，則有：，，

∴===-1，

即點D到邊AB，AC的距離的比值為；

（2）如圖2，在BC邊上截取CF=AD，連接DF，

∵∠BAC=100°，AB=AC，

∴∠ABC=∠BCA=40°，

∵∠ACD=α=20°，

∴∠DCB=20°，

又∵AC=DC，

∴∠CAD=80°，

∴∠BAD=∠DCB=20°，

在△DCF和△BAD中

∴△DCF≌△BAD（SAS），

∴∠ABD=∠CDF，BD=DF，

∴∠DBC=∠DFB，

∵∠DBC=∠ABC-∠ABD=40°-∠ABD，∠DFB=∠DCF+∠CDF=20°+∠CDF，

∴20°+∠CDF=40°-∠ABD，

∴2∠ABD=40°-20°，

即∠ABD=10°，

∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=40°-10°=30°．