Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，點D、點E在BC邊上，且．

（1）求證：△ABD∽△CBA．

（2）若△ACE∽△BCA，判定△ADE的形狀，并說明理由；

（3）在（1）和（2）的條件下，若tan∠ADC＝2，DE＝6，請求出AE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）△ADE是等腰三角形，理由詳見解析；（3）3．

【解析】

（1）根據兩邊成比例夾角相等兩三角形相似即可證明．

（2）結論：△ADE是等腰三角形．理由相似三角形的性質證明∠ADE＝∠AED即可．

（3）作AH⊥DE于H．解直角三角形求出AD即可解決問題．

（1）證明：∵ ，∠B＝∠B，

∴△ABD∽△CBA．

（2）結論：△ADE是等腰三角形．

理由：∵△ACE∽△BCA，

∴∠AEC＝∠BAC，

∵△ABD∽△CBA，

∴∠BAC＝∠BDA，

∴∠BDA＝∠CEA，

∴AD＝AE，

∴△ADE是等腰三角形．

（3）如圖，作AH⊥DE于H．

∵AD＝AE，AH⊥DE，

∴DH＝HE＝DE＝3，

∵tan∠ADE＝＝2，

∴AH＝6，

∴AD＝AE＝ ＝3．