Question

如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，∠BCD的平分線CF交邊AB于F，∠ADC的平分線DG交邊AB于G．
（1）求證：AF=BG；
（2）求證：△EFG為直角三角形；
（3）請你在已知條件的基礎上再添加一個條件，使得△EFG為等腰直角三角形，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由角平分線知∠ADG=∠CDG，由平行知∠CDG=∠AGD所以，∠ADG=∠AGD，即AD=AG，同理BF=BC，又AD=BC，所以AG=BF，去掉公共部分，則有AF=GB；
（2）由于DG、CF是平行四邊形一組鄰角的平分線，所以可以證明△EFG是直角三角形．
（3）要使得△EFG成為等腰直角三角形，則必須有EF=EG或者∠EFG=∠EGF即可．

解答：解：在平行四邊形ABCD中
∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠ADG=∠CDG，
又∵∠AGD=∠CDG，
∴∠ADG=∠AGD，
∴AD=AG．
同理BF=BC，
∴BF=AG，
即AF=BG；（5分）

（2）∵∠CDG=

1

2

，
∠ADC=∠DCF=

1

2

∠BCD，
而∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠CDG+∠DCF=90°，
∴∠FEG=∠CED=90°，
即△GEF是直角三角形；（9分）

（3）當平行四邊形ABCD是矩形時，△GEF是等腰直角三角形，
∵∠DCF=∠CDG=45°，
∴∠EFG=∠EGF=45°，
∴△GEF是等腰直角三角形．（12分）

點評：此題考查了平行四邊形的基本性質，以及直角三角形的判定，難易程度適中．