Question

【題目】如圖，△ABC的內接三角形，P為BC延長線上一點，∠PAC=∠B，AD為⊙O的直徑，過C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G.

(1)判斷直線PA與⊙O的位置關系，并說明理由；

(2)求證：AG2=AF·AB；

(3)求若⊙O的直徑為10，AC=2，AB=4，求△AFG的面積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）3.

【解析】

（1）首先連接CD，由AD為⊙O的直徑，可得∠ACD=90°，然后由圓周角定理，證得∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可證得DA⊥PA，繼而可證得PA與⊙O相切．
（2）首先連接BG，易證得△AFG∽△AGB，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得結論；
（3）首先連接BD，由AG2=AFAB，可求得AF的長，易證得△AEF∽△ABD，即可求得AE的長，繼而可求得EF與EG的長，則可求得答案．

（1）PA與⊙O相切．理由：
如圖1，連接CD，
∵AD為⊙O的直徑，
∴∠ACD=90°，
∴∠D+∠CAD=90°，A
∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，
∴∠PAC=∠D，
∴∠PAC+∠CAD=90°，
即DA⊥PA，
∵點A在圓上，
∴PA與⊙O相切．

（2）

證明：如圖2，連接BG，
∵AD為⊙O的直徑，CG⊥AD，
∴ ，
∴∠AGF=∠ABG，
∵∠GAF=∠BAG，
∴△AGF∽△ABG，
∴AG：AB=AF：AG，
∴AG2=AFAB；

（3）

解：如圖3，連接BD，
∵AD是直徑，
∴∠ABD=90°，
∵AG2=AFAB，AG=AC=2 ，AB=4，
∴AF= =，
∵CG⊥AD，
∴∠AEF=∠ABD=90°，
∵∠EAF=∠BAD，
∴△AEF∽△ABD，
∴ ，
即，
解得：AE=2，
∴EF= =1，
∵EG==4，
∴FG=EG-EF=4-1=3，
∴S△AFG=FGAE=3×3×2=3．