Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于點和點，與軸交于點.

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點為第二象限拋物線上一動點，連接，求面積的最大值，并求此時點的坐標．
（3）在拋物線上是否存在點使得為等腰三角形？若存在，請求出一共有幾個符合條件的點（簡要說明理由）并寫出其中一個點的坐標；若不存在這樣的點，請簡要說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）點E的坐標為（-，）；（3）存在．共有5個點，其中一個是（-1，4）．

【解析】

（1）由拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（-3，0），利用待定系數法，將點A與B的坐標代入拋物線的解析式即可求得a與b的值，則可得此拋物線的解析式；
（2）根據已知可求得點C的坐標，然后作輔助線：EF∥AB，設點E的坐標為（x，y），由S△BEC=S梯形OBEF+S△EFC-S△BOC即可求得關于x的二次函數，配方即可求得x的值，代入解析式，求得y的值；
（3）分別從AP=BP與AB=BP與AB=AP去分析，可得到存在符合條件的點有5個，其中最好求的是P在頂點時的坐標，配方求解即可．

（1）將點A與B的坐標代入拋物線的解析式得： ，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3；

（2）∵拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3，
∴點C的坐標為（0，3），
設點E的坐標為（x，y），過點E作EF∥AB交y軸于F，
∴EF=-x，OB=3，OC=3，OF=-x2-2x+3，CF=3-（-x2-2x+3）=x2+2x，

∴S△BEC=S梯形OBEF+S△EFC-S△BOC
=（EF+OB）OF+EFCF-OBOC
=×（-x+3）×（-x2-2x+3）+×（-x）×（x2+2x）-×3×3
=-（x+）2+，
∴當x=-時，△BCE的面積最大，最大面積為；
∴y=-x2-2x+3=，
∴點E的坐標為（-，）；

（3）存在．
如果AP=BP，則點P在AB的垂直平分線上，即是拋物線的頂點，
∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴此時P點的坐標為（-1，4）；
如果AB=BP，則如圖①：
如果AB=AP，則如圖②：
∴存在使得△ABP為等腰三角形的P點5個；
有一點的坐標為（-1，4）．