Question

設一組數據是x₁，x₂，…，x_n，它們的平均數是，方差．
（Ⅰ）證明：方差也可表示為；并且s²≥0，當x₁=x₂=…=x_n=時，方差s²取最小值0；
（Ⅱ）求滿足方程的一切實數對（x，y）．

Answer 1

解：（1）∵，
=[x₁²+-2x₁+x₂²+-2+…+x_n²+-2x_n]，
=（x₁²+x₂²+…+x_n²）+（++…+）+（-2x₁-2-…-2x_n]，
=（x₁²+x₂²+…+x_n²）++（-2x₁-2-…-2x_n]，
=（x₁²+x₂²+…+x_n²）+-2（x₁+x₂+…+x_n]，
=（x₁²+x₂²+…+x_n²）-，
∴；
當x₁=x₂=…=x_n=時，
s²=-=0，
∴此時方差s²取最小值0；

（2）設數據-x，（y-1），x-y的平均數為：
=[（-x）+（y-1）+（x-y）]，
=-，
方差s²=[x²+（y-1）²+（x-y）²]-（）²=-（-）²，
當且僅當-x=y-1=x-y==-時，
s²=0，
此時x=，y=．
分析：（1）根據方差的定義的公式展開，進行整理得出命題的正確性；
（2）結合方差s²=[x²+（y-1）²+（x-y）²]-（）²=-（-）²，當且僅當-x=y-1=x-y==-時，求出即可．
點評：此題主要考查了方差公式的證明以及綜合應用，正確的將公式變形是解決問題的關鍵．