Question

10．如圖，在一豎直平臺AB的點B處，測得樓房CD頂部點D的仰角為45°，底部點C的俯角為30°．已知樓高100米，求平臺的高度．

Answer 1

分析 設平臺AB的高度的高度為h，過點B作BE⊥CD于點E，根據題意得到∠DBE=45°，∠CBE=30°．推出四邊形ABEC為矩形．根據矩形的性質得到CE=AB=h．根據三角函數的定義得到BE=CE•cot30°=h×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$h．DE=BE=$\sqrt{3}$h．根據CD=CE+DE=h（$\sqrt{3}$+1）=100，即可得到結論．

解答 解：如圖，設平臺AB的高度的高度為h，過點B作BE⊥CD于點E，
根據題意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．
∵AB⊥AC，CD⊥AC，
∴四邊形ABEC為矩形．
∴CE=AB=h．
在Rt△CBE中，cot∠CBE=$\frac{BE}{CE}$，
∴BE=CE•cot30°=h×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$h．
在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，
得DE=BE=$\sqrt{3}$h．
∴CD=CE+DE=h（$\sqrt{3}$+1）=100，
解得：h=$\frac{100}{\sqrt{3}+1}$=50$\sqrt{3}$-50，
答：平臺的高度為（50$\sqrt{3}$-50）米．

點評 本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，本題要求學生借助俯角構造直角三角形，并結合圖形利用三角函數解直角三角形．