Question

如圖，已知拋物線與x軸交于點A（-1，0），E（3，0），與y軸交于點B，且該函數的最大值是4．
（1）拋物線的頂點坐標是（______，______）；
（2）求該拋物線的解析式和B點的坐標；
（3）設拋物線頂點是D，求四邊形AEDB的面積；
（4）若拋物線y=mx²+nx+p與上圖中的拋物線關于x軸對稱，請直接寫出m的值．

Answer 1

解：（1）∵拋物線與x軸交于點A（-1，0），E（3，0），
∴拋物線的對稱軸是x==1，
∴頂點的橫坐標是：1，
∵函數的最大值是4．
∴頂點的縱坐標是：4，
拋物線的頂點坐標是（1，4）．

（2）設拋物線的解析式為y=a（x-h）²+k，
∵拋物線頂點坐標為（1，4），
∴y=a（x-1）²+4，
又∵拋物線過點A（-1，0），∴4a+4=0，解得a=-1．
∴y=-x²+2x+3（或y=-（x-1）²+4為所求）．
當x=0時，y=3，∴B（0，3）．

（3）過點D作DH⊥x軸于點H，
∵A（-1，0），B（0，3），∴OA=1，OB=3，
∴S_△AOB=×OA×OB=；
又∵D（1，4），E（3，0），∴DH=4，EH=2
∴S_△DHE=×DH×HE=4；
又∵B（0，3），D（1，4），∴S_梯形BOHD=×（OB+DH）×OH=；
∴S_{四邊形AEDB}=S_△AOB+S_梯形BOHD+S_△DHE=9．

（4）m=1．
分析：（1）因為拋物線與x軸交于點A（-1，0），E（3，0），所以可求出對稱軸即頂點的橫坐標，又函數的最大值是4，所以可求出頂點的縱坐標是：4；
（2）設出函數的頂點式表達式為y=a（x-h）²+k，由（1）知h，k，再把A或E點的再把代入可求出a，所以函數的解析式明確了，B點的坐標即函數x=0時的函數值．
（3）把四邊形AEDB的面積分割為S_△AOB⁺S_△DHE⁺S_{梯形BOHD可得問題答案．}
（4）若拋物線y=mx²+nx+p和已知拋物線關于x軸對稱，則橫坐標不變，縱坐標變為原來的相反數．
點評：本題考查了求二次函數的解析式，頂點坐標，以及特殊的點圍成的圖象的面積，綜合性很強，難度不大．