Question

如圖，是一次國際數學教育大會的會徽的圖案，蘊藏著許多數學知識．在△AB₁C中，∠C是直角，AC=CB₁=1，以AB₁為直角邊在△AB₁C外作Rt△AB₁B₂，并且CB₁=B₁B₂；以AB₂為直角邊在△AB₁B₂外作Rt△AB₂B₃，且CB₁=B₁B₂=B₂B₃…照此方式繼續下去，以△ACB₁為第一個三角形，則第n個三角形的面積與第（n+1）個三角形的面積比為______．

Answer 1

∵Rt△AB₁C中，AC=CB₁=1，
∴AB₁=

1+1

=

2

，
∴S△AB1C=

1

2

×1×1=

1

2

；
∵Rt△AB₁B₂中，B₁B₂=1，AB₁=

2+1

=

3

，
∴S△AB1B2=

2

2

，
…
∴第n次變化后，一直角邊總不變，長度為1；另一直角邊變為

n+1

，
∴第（n+1）個三角形與第n個三角形面積的比值是

n 2

n+1 2

，即

n

n+1

．
故答案為：

n

n+1

．