Question

如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP=10，OA上有一點(diǎn)Q，OB上有一定點(diǎn)R．若△PQR周長最小，求它的最小值．

Answer 1

分析：先畫出圖形，作PM⊥OA與OA相交于M，并將PM延長一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB與OB相交于N，并將PN延長一倍到F，即NF=PN．連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，則△PQR即為周長最短的三角形．再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出△PQR=EF，再根據(jù)三角形各角之間的關(guān)系判斷出△EOF的形狀即可求解．

解答：解：設(shè)∠POA=θ，則∠POB=30°-θ，作PM⊥OA與OA相交于M，并將PM延長一倍到E，即ME=PM．
作PN⊥OB與OB相交于N，并將PN延長一倍到F，即NF=PN．
連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，則△PQR即為周長最短的三角形．
∵OA是PE的垂直平分線，
∴EQ=QP；
同理，OB是PF的垂直平分線，
∴FR=RP，
∴△PQR的周長=EF．
∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°-θ）=60°，
∴△EOF是正三角形，
∴EF=10，即在保持OP=10的條件下△PQR的最小周長為10．
故答案為：10．

點(diǎn)評：本題考查的是最短距離問題，解答此類題目的關(guān)鍵根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出各點(diǎn)的對稱點(diǎn)，即把求三角形周長的問題轉(zhuǎn)化為求線段的長解答．