Question

【題目】如圖，在平面內，點是直線上一點，，射線不動，射線，同時開始繞點順時針轉動，射線首次回到起始位置時兩線同時停止轉動，射線，的轉動速度分別為每秒和每秒．若轉動秒時，射線，，中的一條是另外兩條組成角的角平分線，則______秒．

Answer 1

【答案】4或5

【解析】

根據已知條件可知，在第t秒時，射線OA轉過的角度為40°t，射線OB轉過的角度為20°t,然后按照OA、OB、OC三條射線構成相等的角分三種情況討論：①當OA平分∠BOC；②當OC平分∠AOB；③當OB平分∠AOC，分別列方程即可求出t的值．

解：根據題意，在第t秒時，射線OA轉過的角度為40°t，射線OB轉過的角度為20°t,
①當OA，OB轉到OA′，OB′的位置時，如圖①所示，∠A′OC=∠A′OB′，

∵∠A′OC=180°-40°t，∠A′OB′=∠AOA′-∠AOB-∠BOB′=40°t-60°-20°t=20°t-60°，
∴180°-40°t =20°t-60°，
即t=4；
②當OA，OB轉到OA′，OB′的位置時，如圖②所示，∠A′OC=∠B′OC，

∵∠A′OC=40°t-180°，∠B′OC=180°-∠AOB-∠BOB′=180°-60°-20°t=120°-20°t，
∴40°t-180°=120°-20°t，
即t=5；
③當OA，OB轉到OA′，OB′的位置時，如圖③，∠B′OC=∠A′OB′，

∵∠B′OC=20°t-120°，∠A′OB′=∠A′OC=(180°-∠AOA′)=[180°-（360°-40°t）]=20°t-90°，
∴20°t-120°=20°t-90°，此時方程不成立．
綜上所述：t的值為4或5．

故答案：4或5．