Question

如圖，在正方形ABCD中，E為AB邊的中點，G，F分別為AD，BC邊上的點，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，求GF的長．

Answer 1

【答案】分析：求GF的長，可以先求GE、FE的長，E為AB邊的中點，得出AE的長是解決此問題的途徑，通過證明△AEG∽△BFE可以得出．
解答：解：∵正方形ABCD，
∴∠A=∠B=90°，∠AEG+∠AGE=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠AEG+∠BEF=90°，
∴∠AGE=∠BEF，
∴△AEG∽△BFE，
∵E為AB邊的中點，
∴GA：AE=BE：BF，
∴AE=BE=，GE=，EF=，GF==3．

另法：取GF的中點H，連接EH，

∵GA∥BF，GF和BA不平行，
∴四邊形GABF是梯形，
∴EH=（梯形中位線定理），
∵GA=1，BF=2，
∴EH=，
∵∠GEF=90°，
∴△GEF是直角三角形，
∴GF=2EH=2×=3（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）．
點評：本題考查正方形的特殊性質，相似三角形的判定和性質等知識的綜合運用．