Question

已知直角三角形的邊長均為整數，周長為60，求它的外接圓的面積．

Answer 1

分析：設直角三角形的三邊長分別為a，b，c（a≤b＜c），則a+b+c=60，顯然，三角形的外接圓的直徑即為斜邊長c，下面先求c的值；由a≤b＜c及a+b+c=60得60=a+b+c＜3c，所以c＞20．由a+b＞c及a+b+c=60得60=a+b+c＞2c，所以c＜30．即可求得c的取值范圍，然后由勾股定理可得ab-60（a+b）+1800=0，然后分析求得a，b的值，繼而求得它的外接圓的面積．

解答：解：設直角三角形的三邊長分別為a，b，c（c是斜邊），
則a+b+c=60．
∵a≤b＜c，a+b+c=60，
∴60=a+b+c＜3c，
∴c＞20．
∵a+b＞c，a+b+c=60，
∴60=a+b+c＞2c，
∴c＜30．
又∵c為整數，
∴21≤c≤29．
根據勾股定理可得：a²+b²=c²，把c=60-a-b代入，
化簡得：ab-60（a+b）+1800=0，
∴（60-a）（60-b）=1800=2³×3²×5²，
∵a，b均為整數且a≤b，
∴只可能是

60-a=23×5 60-b=32×5

或

60-a=2×52 60-b=22×32

解得

a=20 b=15

或

a=10 b=24.

，
∵三角形的外接圓的直徑即為斜邊長c，
∴當a=20，b=15時，c=25，三角形的外接圓的面積為

625

4

π；
當a=10，b=24時，c=26，三角形的外接圓的面積為169π．

點評：此題考查了直角三角形的性質、直角三角形外接圓的性質以及不等式組的應用．此題難度較大，解題的關鍵是掌握三角形的外接圓的直徑即為斜邊長c，掌握不等式組的應用．