Question

【題目】我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖所示，點A、B、C、D分別是“蛋圓”與坐標軸的交點，已知點D的坐標為（0，-3），AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標為（1，0），半圓半徑為2．

（1）請你求出“蛋圓”拋物線部分的解析式，并寫出自變量的取值范圍；

（2）你能求出經過點C的“蛋圓”切線的解析式嗎？試試看；

（3）開動腦筋想一想，相信你能求出經過點D的“蛋圓”切線的解析式．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）.

【解析】

（1）易知點，設解析式為兩點式即，將點D坐標代入求解即可；

（2）設經過點C的“蛋圓”切線CE交x軸于點E，連接CM，在中，由勾股定理可知OC長，易知點C坐標，解直角三角形可得，在中，解直角三角形可得EM長，易知點E坐標，設直線CE的解析式為，將點，坐代入求解即可；

（3）設過點的“蛋圓”切線的解析式為，由題意可知方程有兩個相等的實數根，利用可得m值.

解：（1）由AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標為（1，0），半圓半徑為2可知，

設“蛋圓”拋物線部分的解析式為，

將點代入得，

解得，

所以“蛋圓”拋物線部分的解析式為，自變量的取值范圍為；

（2）設經過點C的“蛋圓”切線CE交x軸于點E，連接CM，

在中，，根據勾股定理得，即，

在中，

設直線CE的解析式為，

將點，代入得

解得

所以經過點C的“蛋圓”切線的解析式；

（3）設過點的“蛋圓”切線的解析式為，

由題意可知方程組只有一組解，

即有兩個相等的實數根，

化簡得

解得或（舍去）

所以經過點D的“蛋圓”切線的解析式為.